Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Σχολή Επιστημών Διοίκησης και Οικονομίας

Τμήμα Οικονομικών Επιστημών

Τρίπολη 22 100

Τηλέφωνο: 2170-230128 (Γραμματεία), 2710-230132

Φαξ: 2710-230139

thomakos@uop.gr

 

Δημήτρης Δ. Θωμάκος

铁木士

Αναπληρωτής Καθηγητής

Εφαρμοσμένη Οικονομετρία

 

‘Όλο το προσωπικό υλικό της ιστοσελίδας, εκτός από δεδομένα που προέρχονται από πηγές που μνημονεύονται, είναι © Δημήτρης Θωμάκος 2007, 2008.

 

“The fundamental problem of scientific progress, and a fundamental one of everyday life, is that of learning from experience. Knowledge obtained in this way is partly merely description of what we have already observed, but part consists of making inferences from past experience to predict future experience. This part is called generalization or induction.” 

 

Sir Harold Jeffreys, Theory of Probability.

Πίσω στην αρχική σελίδα…

Τελευταία ανανέωση: 05/10/2008 Κάντε κλικ εδώ για να δείτε τις τελευταίες ανακοινώσεις…

Στατιστική Ι

Ακαδημαϊκό έτος 2008-2009 Χειμερινό Εξάμηνο

Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 15.00-17.00 και Τετάρτη 13.00-15.00

Ώρες γραφείου: Τετάρτη 15.00-16.00 και κατόπιν συνεννόησης

*    Σύνοψη. Στο μάθημα αυτό παρουσιάζονται οι βασικές αρχές και έννοιες της στατιστικής, με έμφαση στην εφαρμογή της στην ανάλυση οικονομικών δεδομένων. Το μάθημα χωρίζεται σε τρία βασικά μέρη, την πιθανοθεωρία, την περιγραφική στατιστική και προκαταρτική ανάλυση δεδομένων και την επαγωγική (μαθηματική) στατιστική. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται βασικά μαθηματικά θέματα της θεωρίας πιθανοτήτων που είναι απαραίτητα στην στατιστική και οικονομετρία. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται θέματα που σχετίζονται με την ανάλυση δεδομένων χωρίς να εξάγονται επαγωγικά συμπεράσματα, δηλαδή συμπεράσματα για την γενική εφαρμογή των περιγραφικών μεθόδων. Στο τρίτο μέρος εξηγείται το πιθανοθεωρητικό υπόβαθρο των περιγραφικών μεθόδων του δεύτερου μέρους και γίνεται εισαγωγή στο στατιστικό τρόπο σκέψης και αντιμετώπισης της ανάλυσης δεδομένων. Το μάθημα συνδυάζει την θεωρητική παρουσίαση στην τάξη με εμπειρικά παραδείγματα για την πληρέστερη κατανόηση των στατιστικών εννοιών και της εφαρμογής τους.

*    Προαπαιτούμενα. Όλη η ύλη των μαθηματικών του Λυκείου θεωρείται δεδομένη (συμπεριλαμβάνει βασικές παραγώγους και βασική αριστοποίηση).

*    Διδακτικά εγχειρίδια. Η βασική εξεταστέα ύλη του μαθήματος θα είναι αυτή που παρουσιάζεται στις διαλέξεις και συνίσταται να παρακολουθείτε τακτικά τις διαλέξεις. Το βασικό διδακτικό εγχειρίδιο θα είναι το «Στατιστική», Κ. Δρακάτος, εκδόσεις Παπαζήσεις, 1984. Θα σας δίνονται επίσης κείμενα και ασκήσεις από άλλα βιβλία αναφοράς.

*    Ασκήσεις και Εμπειρικές Εφαρμογές. Θεωρητικές ασκήσεις και πρακτικές εφαρμογές θα δίνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα, ανάλογα με το περιεχόμενο και τον βαθμό δυσκολίας της εκάστοτε καλυπτόμενης ύλης (περίπου κάθε μία ή δύο εβδομάδες). Για τις πρακτικές εφαρμογές είναι απαραίτητη η χρήση Η/Υ και ενός προγράμματος ανάλυσης δεδομένων. Θα γίνουν δύο (ή περισσότερα) μαθήματα στο εργαστήριο Η/Υ του τμήματος για την εξοικείωση σας με τα προγράμματα που θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε καθώς και την πρόσβασή σας στα δεδομένα των εφαρμογών. Περισσότερες λεπτομέρειες θα ανακοινώνονται στην τάξη και στη ιστοσελίδα. Οι λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να επιστρέφονται μία εβδομάδα μετά την ημερομηνία ανάθεσής τους. Λύσεις που επιστρέφονται εκπρόθεσμα δεν θα γίνονται δεκτές. 

*    Βαθμολογία. Η βαθμολογία του μαθήματος στηρίζεται στην απόδοσή σας στην τελική εξέταση.

*    Λίστα περιεχομένων (θα ανανεώνεται κατά την διάρκεια των διαλέξεων)

0. Γνώση μέσα από εμπειρική ανάλυση: παρατήρηση, συλλογή δεδομένων, περιγραφή, ανάλυση, συμπεράσματα, επαγωγή 

1.      «Το βασικό πρόβλημα της επιστημονικής προόδου, και ένα βασικό της καθημερινές ζωής, είναι η απόκτηση γνώσης μέσα από την εμπειρία μας. Γνώση που αποκτάται με αυτόν τον τρόπο είναι κατά ένα μέρος περιγραφή όσων έχουμε ήδη παρατηρήσει, αλλά ένα άλλο μέρος αποτελείται από τα συμπεράσματα που βγάζουμε με βάση προηγούμενες καταστάσεις μας για να προβλέψουμε μελλοντικές καταστάσεις. Αυτό το δεύτερο μέρος ονομάζεται γενίκευση ή επαγωγή.» Sir Harold Jeffreys, Theory of Probability.

2.      Ερωτηματολόγιο.

Ι. Εισαγωγή

1.      Συστατικά στοιχεία της στατιστικής: πιθανοθεωρία, μαθηματικά, δεδομένα, Η/Υ.

1.1.  Δομή και υπόβαθρο της στατιστικής: μαθηματικά και πιθανοθεωρία.

1.2.  Περιγραφική και επαγωγική στατιστική.

1.3.  Κατηγορίες επαγωγικής ανάλυσης: εκτιμητική (σημειακή και διαστήματος εμπιστοσύνης), έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων, υποδειγματοποίηση, δημιουργία προβλέψεων.

1.4.  Ροή μαθημάτων στατιστικής και εμπειρικής ποσοτικής ανάλυσης.

2.      Χρήση και ιδιότητες του αθροιστικού τελεστή.

ΙΙ. Πιθανοθεωρικό υπόβαθρο της στατιστικής

1.      Αβεβαιότητα και τυχαιότητα στα στατιστικά δεδομένα.

1.1.  Γιατί μας ενδιαφέρει η στατιστική ανάλυση; Αδυναμία ακριβών προβλέψεων λόγω αβεβαιότητας.

1.2.  Πιθανοθεωρία και ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας.

1.3.  Ιεράρχηση καταστάσεων αβεβαιότητας με την χρήση της πιθανότητας.

2.      Δειγματικός χώρος και τυχαία γεγονότα (ενδεχόμενα).

2.1.  Ορισμός και παραδείγματα δειγματικού χώρου.

2.2.  Ορισμός και παραδείγματα τυχαίων ενδεχομένων.

2.3.  Υποσύνολα του δειγματικού χώρου.

3.      Η πιθανότητα ως σχετική συχνότητα: ορισμός και παραδείγματα.

3.1.  Παραδείγματα πειραμάτων τύχης.

3.2.  Εκ των προτέρων ορισμός της πιθανότητας από τις συνθήκες του πειράματος τύχης (π.χ. ρίψη ισοζυγισμένου νομίσματος).

3.3.  Εκ των υστέρων ορισμός της πιθανότητας μέσω ανεξάρτητων επαναλήψεων του πειράματος τύχης κάτω από τις ίδιες συνθήκες.

3.4.  Βασικές ιδιότητες της πιθανότητας για υποσύνολο Α του δειγματικού χώρου:

3.4.1.    

3.4.2.    

3.4.3.    

3.4.4.      

4.      Πράξεις πιθανοτήτων με υποσύνολα του δειγματικού χώρου: ανεξαρτησία και υπό συνθήκη πιθανότητα, κανόνας του Bayes.

4.1.  Πιθανότητα της ένωσης δύο υποσυνόλων του δειγματικού χώρου:

4.2.  Πιθανότητα της τομής δύο υποσυνόλων του δειγματικού χώρου (δες παρακάτω).

4.3.  Ορισμός ανεξαρτησίας δύο υποσυνόλων:

4.4.  Υπό συνθήκη πιθανότητα:

4.5.  Κανόνας του Bayes (μέσω της χρήσης της υπό συνθήκη πιθανότητας):

5.      Μαθηματικός ορισμός της πιθανότητας.

6.      Περιορισμοί της χρήσης συνόλων στην ανάλυση της αβεβαιότητας: έννοια, είδη και παραδείγματα τυχαίας μεταβλητής (ΤΜ).

7.      Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και οι ιδιότητές της – η αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.

8.      Χρήσιμες κατανομές πιθανότητας Ι: διακριτές ΤΜ και εισαγωγή στις στατιστικές παραμέτρους.

8.1.   Ομοιόμορφη κατανομή.

8.2.   Κατανομή Bernoulli για δυαδικές μεταβλητές.

8.3.   Δυωνυμική κατανομή.

8.4.   Γεωμετρική κατανομή.

9.      Χρήσιμες κατανομές πιθανότητας ΙΙ: συνεχείς ΤΜ.

9.1.   Ομοιόμορφη κατανομή σε διάστημα των πραγματικών αριθμών.

9.2.   Εκθετική κατανομή.

9.3.   Κανονική και τυποποιημένη κανονική κατανομή.

10.  Εκατοστημόρια και τεταρτημόρια κατανομών πιθανότητας – επεξήγηση με βάση την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [α,β].

11.  Μονομεταβλητές ροπές ΤΜ: Η προσδοκώμενη τιμή ως τελεστής και οι ιδιότητές της.

11.1.                   Ορισμός της μαθηματικής ελπίδας (μέσης τιμής) για διακριτές και συνεχείς ΤΜ.

11.2.                   Ιδιότητες της μέσης τιμής ως τελεστή.

11.3.                   Γενικός ορισμός των ροπών και παραδείγματα: διακύμανση, τυπική απόκλιση, συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης.

12.  Πολυμεταβλητές κατανομές πιθανότητας (με παραδείγματα) και οι ροπές τους – ορισμός ανεξαρτησίας.

ΙΙΙ. Στατιστικά δεδομένα και στατιστικές μεταβλητές

1.      Είδη στατιστικών δεδομένων: χρονολογικές σειρές (συχνότητα παρατήρησης), διαστρωματικά δεδομένα, μικτά (panel) δεδομένα.

2.      Στατιστικές μεταβλητές: ποσοτικές (διακριτές, συνεχείς) και ποιοτικές (κατηγορηματικές και δυαδικές ψευδομεταβλητές).

3.      Στατιστικός πληθυσμός και στατιστικά δείγματα.

IV. Περιγραφική Στατιστική

Μονομεταβλητή ανάλυση

1.      Μετασχηματισμοί στατιστικών δεδομένων: λογαριθμικός μετασχηματισμός, ρυθμός μεταβολής και ποσοστιαία απόδοση.

2.      Παρουσίαση και εμπειρική κατανομή στατιστικού δείγματος (πίνακας και γραφήματα, εκατοστημόρια και τεταρτημόρια).

3.      Μέτρα κεντρικής τάσης (δειγματικός μέσος, διάμεσος, επικρατούσα τιμή).

4.      Μέτρα διασποράς (ελάχιστο, μέγιστο, εύρος, τεταρτημοριακή απόκλιση, μέση απόκλιση τετραγώνου, δειγματική διακύμανση και τυπική απόκλιση, μέση απόλυτη απόκλιση)

5.      Μέτρα συμμετρίας και κύρτωσης (δειγματικοί συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης και εναλλακτικά μέτρα).

Πολυμεταβλητή ανάλυση

1.      Μέτρα συνδιακύμανσης (δειγματική συνδιακύμανση και συσχέτιση, ερμηνεία του συντελεστή συσχέτισης).

2.      Προσαρμογή ευθείας γραμμής.

V. Επαγωγική Στατιστική

1.      Πιθανοθεωρητικός ορισμός τυχαίου (στατιστικού) δείγματος.

2.      Ορισμός στατιστικών εκτιμητών και εκτιμήσεων.

3.      Τα μέτρα περιγραφικής στατιστικής ως εκτιμητές – οι εκτιμητές ως λύσεις προβλημάτων αριστοποίησης.

4.      Γενικές μέθοδοι εκτίμησης παραμέτρων κατανομών πιθανότητας: μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας.

5.      Εκτιμητές παραμέτρων σημαντικών κατανομών.

6.      Ο νόμος των μεγάλων αριθμών και η συνέπεια ενός εκτιμητή.

7.      Έννοια και ορισμός της δειγματικής κατανομής ενός εκτιμητή, επαναλαμβανόμενη δειγματοληψία και παραδείγματα.

8.      Η δειγματική κατανομή του δειγματικού μέσου.

9.      Αποτελεσματικότητα ενός εκτιμητή.

10. Έννοια, κατασκευή και ερμηνεία διαστημάτων εμπιστοσύνης για το δειγματικό μέσο και τους εκτιμητές μεγίστης πιθανοφάνειας των σημαντικών κατανομών.

*    Ανακοινώσεις

1.      Τα κομμάτια της ύλης II.1 με II.4 θα τα καλύψουμε ως επανάληψη δεδομένου ότι οι περισσότεροι τα έχετε ξαναδεί. Διαβάστε το πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου σας.

2.      Άσκηση #1. Θεωρήστε το ακόλουθο πείραμα τύχης: ρίχνετε ένα ισοζυγισμένο νόμισμα – εάν έρθει γράμματα ρίχνετε ένα ισοζυγισμένο ζάρι, εάν έρθει κεφάλι ξαναρίχνετε το νόμισμα. (α) Βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος, αναγνωρίστε τα τυχαία δεδομένα που τον αποτελούν και υπολογίστε τις πιθανότητες που τους αντιστοιχούν. (β) Βρείτε τα υποσύνολα Α = { τυχαία ενδεχόμενα με 2 ή κεφάλι }, Β = { τυχαία ενδεχόμενα με γράμματα } και υπολογίστε τις αντίστοιχες πιθανότητες του κάθε υποσυνόλου.

3.      Άσκηση #2. Θεωρήστε το ακόλουθο πείραμα τύχης: ρίχνετε δύο ισοζυγισμένα ζάρια και καταγράφετε τις δύο όψεις των ζαριών. (α) Βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. (β) Βρείτε δύο υποσύνολα Α και Β που να είναι μεταξύ τους ασυμβίβαστα. Υπολογίστε την πιθανότητα του κάθε υποσυνόλου και μετά βρείτε την πιθανότητα της τομής τους. (γ) Επαναλάβετε χρησιμοποιώντας δύο υποσύνολα Α και Β που να μην είναι μεταξύ τους ασυμβίβαστα.

4.      Κατεβάστε κάνοντας κλικ εδώ την εργασία του Persi Diaconis, καθηγητή στατιστικής του Πανεπιστημίου Stanford, με την δυναμική ανάλυση της ρίψης ενός νομίσματος (αγνοήστε τα μαθηματικά κομμάτια, διαβάστε την εισαγωγή και την σύνοψη των αποτελεσμάτων στο τέλος).

5.      Άσκηση #3. Δείξτε, μέσω παραδείγματος με διαγράμματα τύπου Venn, ότι η υπό συνθήκη πιθανότητα έχει τις ίδιες ιδιότητες όπως και αυτές στην ενότητα 3.4.

6.      Άσκηση #4. Θεωρήστε το πείραμα τύχης «ρίψη δύο ισοζυγισμένων ζαριών». Ορίστε την ΤΜ Χ = { άθροισμα των πλευρών των δύο ζαριών }. Βρείτε το πεδίο τιμών της Χ και την κατανομή πιθανότητας των τιμών της. Εάν παίζετε ένα παιχνίδι όπου κερδίζουν οι ρίψεις με άθροισμα 3, 7 και 11 ποιες είναι οι πιθανότητες επιτυχίας; Ποιες είναι οι πιθανότητες επιτυχίας σε 3 συνεχόμενες ανεξάρτητες ρίψεις;

7.      Όπως είπαμε και στην τάξη, πρέπει να γνωρίζετε τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων του τύπου. Επίσης, για περαιτέρω χρήση μπορείτε να χρησιμοποιείτε τον τύπο . Ό,τι άλλο χρειαστεί θα το εξηγούμε στην τάξη.

8.      Άσκηση #5. Βρείτε την αθροιστική κατανομή πιθανότητας των παρακάτω κατανομών:

8.1.  Ομοιόμορφη κατανομή για διακριτή ΤΜ με Ν διακριτές τιμές.

8.2.  Ομοιόμορφη κατανομή για συνεχή ΤΜ στο διάστημα [α,β].

8.3.  Γεωμετρική κατανομή.

8.4.  Εκθετική κατανομή.

9.      Άσκηση #6. Θεωρήστε την συνεχή ΤΜ Χ με κατανομή πιθανότητας , όπου  είναι δύο άγνωστες παράμετροι και το πεδίο τιμών της Χ είναι . Απαντήστε στα ακόλουθα:

9.1.   Ποιους περιορισμούς πρέπει να βάλετε στις παραμέτρους της κατανομής για να ισχύει ότι ;

9.2.   Ποιους επιπλέον περιορισμούς πρέπει να βάλετε στις παραμέτρους έτσι ώστε να ισχύει ότι ;

9.3.   Ποια είναι η αθροιστική κατανομή της Χ;

10.  Άσκηση #7. Χρησιμοποιώντας την απάντησή σας στις ασκήσεις 8.4 και 9.3 βρείτε την συνάρτηση των εκατοστημορίων για τις αντίστοιχες κατανομές.

11.  Άσκηση #8. Χρησιμοποιώντας την απάντησή σας στην άσκηση 9.2 βρείτε την μέση τιμή της αντίστοιχης κατανομής.

12.  Μελέτη. Διαβάστε από το βιβλίο σας για τον υπολογισμό της μέσης τιμής (θεωρία και εφαρμογές στην ομοιόμορφη κατανομή, δυωνυμική κατανομή, γεωμετρική κατανομή και εκθετική κατανομή).

13.  Άσκηση #9. Αποδείξτε ότι:

13.1.                   Η μέση τιμή του αθροίσματος k ≥ 2 ΤΜ ισούται με το άθροισμα των μέσων τιμών τους.

13.2.                   Η μέση τιμή της ΤΜ Υ = αΧ, όπου α είναι μια σταθερά, ισούται με αΕ(Χ).

13.3.                   Η διακύμανση της ΤΜ Υ = αΧ ισούται με α2V(X).

13.4.                   (Τυποποίηση ΤΜ) Για μια ΤΜ Χ με μέση τιμή μ και διακύμανση σ2 η νέα ΤΜ Ζ που ορίζεται ως Ζ = (Χ-μ)/σ έχει Ε(Ζ) = 0 και V(Z) = 1.

14.  Άσκηση #10. Υπολογίστε την μέση τιμή, διακύμανση, συντελεστή ασυμμετρίας και κύρτωσης για την κατανομή πιθανότητας της ΤΜ στην άσκηση #6.

15.  Μελέτη. Διαβάστε από το βιβλίο σας για τον τρόπο υπολογισμού πιθανοτήτων χρησιμοποιώντας την κανονική κατανομή και την τυποποιημένη κανονική κατανομή.

16.  Άσκηση #11. Υποθέστε ότι έχετε δύο ανεξάρτητες ΤΜ που κάθε μία ακολουθεί την κατανομή Bernoulli με αντίστοιχες παραμέτρους p1 και p2. Βρείτε την κοινή κατανομή πιθανότητας που έχουν οι ΤΜ αυτές και υπολογίστε την μέση τιμή του γινομένου τους και την διακύμανσή τους.

17.  Μετά την συμπλήρωση των μερών I και II της ύλης θα πάμε κατευθείαν στο μέρος V (επαγωγική στατιστική) και τα κομμάτια των μερών III και ΙV θα εισάγονται μέσω παραδειγμάτων.

18.  Μελέτη. Διαβάστε από το βιβλίο σας και κάντε επανάληψη από τις σημειώσεις σας τις ιδιότητες του δειγματικού μέσου ως εκτιμητή και την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για τον πραγματικό μέσο ενός πληθυσμού.

19.  Άσκηση #12. Για την κατανομή της άσκησης βρείτε τους εκτιμητές της μεθόδου των ροπών και της μεθόδου μεγίστης πιθανοφάνειας και τις αντίστοιχες διακυμάνσεις τους. Συγκρίνετε τους εκτιμητές μεταξύ τους.

 

‘Όλο το προσωπικό υλικό της ιστοσελίδας, εκτός από δεδομένα που προέρχονται από πηγές που μνημονεύονται, είναι © Δημήτρης Θωμάκος 2007.